Prinsip Inklusi dan eksklusi , by MIFTAHUL JANNAH HASIBUAN

Prinsip inklusi-eksklusi merupakan perluasan konsep dari diagram venn yang melibatkan operasi gabungan dan irisan dalam himpunan. namun dalam pembahasan kita kali ini diperluas dan di perkaya dengan ilustrasi penerapan yang bervariasi dalam matematika kombinatorik. Kita perhatikan ilustrasi berikut:

 Sebuah perkuliahan umum dihadiri oleh 20 mahasiswa yang memiliki kegemaran membaca dan 30 mahasiswa yang memiliki kegemaran menulis. Berapa mahasiswa di dalam perkuliahan tersebut yang memiliki kegemaran membaca atau menulis?

Dari permasalahan ini terlihat bahwa informasi yang diketahui belum memadai. Banyaknya mahasiswa yang memiliki kegemaran membaca atau menulis hanya dapat diketahui jika banyaknya mahasiswa yang menggemari kedua kegiatan tersebut diketahui.

Banyaknya anggota himpunan gabungan antara himpunan A dan himpunan B merupakan jumlah banyaknya  anggota dalam himpunan tersebut dikurangi jumlah banyaknya anggota di dalam irisannya . Karena itu : 

n(A∪B )=n(A)+n(B)-(nA∩B )

A. 5 Himpunan

(AUBUCUDUE) = (A+B+C+D+E)-((A ∩B)+(B∩C)+(C∩D)+(D∩E)+(E∩A)+(A∩C)+(A∩D)+(B∩D)+(B∩E)+(C∩E))+((A∩B∩C)+(B∩C∩D)+(C∩D∩E)+(A∩E∩D)(A∩B∩D)+(A∩B∩E)+(B∩C∩E)+(A∩C∩D))-((A∩B∩C∩D)+(A∩B∩C∩E)+(B∩C∩D∩E)+(C∩D∩E∩A)(D∩E∩A∩B)+(E∩A∩B∩D))+(A∩B∩C∩D∩E). 

B. 6 Himpunan

(AUBUCUDUEUF) = (A+B+C+D+E+F)-((A ∩B)+(B∩C)+(C ∩D)+(D∩E)+(E∩F)+(F ∩A)+(A ∩C)+(A ∩D)+(A∩E)+(B ∩D)+(B ∩E)+(B∩F)+(C∩E)+(C∩F)+(D∩F))-((A∩B∩C)+(A∩B∩D)+(A∩B∩E)+(A∩B∩F)+(B∩C∩D)+(B∩C∩E)+(B∩C∩F)+(C∩D∩F)+(C∩D∩A)+(D∩E∩F)+(D∩E∩A)+(D∩E∩B)+(E∩F∩A)+(E∩F∩B)+(E∩F∩C))+((A∩B∩C∩D)+(A∩B∩C∩E)+(A∩B∩C∩F)+(B∩C∩D∩F)+(C∩D∩E∩F)+(C∩D∩E∩A)+(D∩E∩F∩A)+(D∩E∩F∩B)+(E∩F∩A∩B)+(E∩F∩A∩C)+(F∩A∩B∩D))-((A∩B∩C∩D∩E)+(A∩B∩C∩D∩F)+(B∩C∩D∩E∩F)+(C∩D∩E∩F∩A)+(D∩E∩F∩A∩B)+(E∩F∩A∩B∩C))+((A∩B∩C∩D∩E∩F)). 

Tugas soal :

2. 1000 pelamar untuk perjalanan mendaki gunung di Himalaya, 450 sakit ketinggian, 622 tidak baik bentuknya cukup, dan 30 memiliki alergi. Seorang pelamar memenuhi syarat jika dan hanya jika pelamar ini tidak mendapatkan ketinggian sakit, dalam kondisi baik, dan tidak memiliki alergi. Jika ada 111 pelamar yang terkena penyakit ketinggian dan sedang tidak dalam kondisi yang cukup baik, 14 yang mengalami penyakit ketinggian dan memiliki alergi, 18 yang kondisinya tidak cukup baik dan memiliki alergi, dan 9 yang terkena penyakit ketinggian adalah tidak dalam kondisi yang cukup baik, dan memiliki alergi, berapa banyak pelamar memenuhi syarat?

Penyelesaian:

Jadi, beberapa orang yang masuk dalam kategori terpilih ( selain yang punya ketiga penyakit diatas ). Artinya himpunan semesta dikurangi dengan himpunan dari ketiga himpunan di atas.

Himpunan semesta = 1000

Yang layak masuk kategori adalah 

1000-(AUBUC)=1000-((A+B+C)-(AΠB)-(BΠC)-(AΠC)+(AΠBΠC))

                       =1000-(450+622+30)-111-14-18+9)

                       =1000-968 =32. 

Sehingga ada 32 orang.

3. | A | = | B | = | C | =  (7 + 3 - 1) = ( 9 ) = 36

                                      (  3 - 1    )     ( 2 )   

  | A ⋂ B | = | A ⋂ C | = | B ⋂ C | = (1 + 3 - 1 )  

                                                         (   3 - 1    ) 

                                                     = ( 3 ) = 3

                                                        ( 2 ) 

|(A ⋃ B ⋃ C)|= (13 + 3 - 1) - (|A|+|B|+|C|-|A⋂B|-                             (     3 - 1    ) 

                                        

                                          |A⋂C|-|B⋂C|+|A⋂B⋂C|) 

                    

                      = (15) - (36+36+36-3-3-3+0) 

                         ( 2 ) 

                      = 105 - 99

                      = 6 

4. X1 + X2 + X3 + X4=17X  saya. saya = 1.2.3.4

    X1 ≤ 3 ,  X2 ≤ 4

    X3 ≤ 5 ,  X4 ≤ 8

Didefinisikan menjadi : 

y1 = 3 - X1

y2 = 4 - X2

y3 = 5 - X3

y4 = 8 - X4

X1 + X2 + X3 + X4 = 17

y1 + y2 + y3 + y4  = 3

Sehingga solusi dari non negatif dari persamaan :

y1 + y2 + y3 + y4 = 3X1 + X2 + X3 + X4 = 17

X1 ≤ 3, X2 ≤ 4, X3 ≤ 5, X4 ≤ 8

Oleh karena itu :

( N + M - 1) → y1 + y2 + y3 + y4 = 3 (3+4-1) 

(   M - 1     )                                           ( 4 - 1  ) 

                                                         = ( 6 ) 

                                                            ( 3 ) 

                                                         = 20